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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 -kjsHSt=  
n gOyrO4  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. Q|4 q|:zF  
=0@~w@b  
　　1、三角函数本质： c7|Gta  
SD^/MF R  
　　三角函数的本质来源于定义 u% k1\  
%t)w Exc  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。  YY b>  
Y k'`wQaV  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 yRTU)R  
b2gJYVq  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 6dmo=5  
~C73y:ja)A  
　　推导： Ws]!11b  
u/MQ v]  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 @rI#kK>^  
%1_r^./g`d  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) &Go5!o{X;P  
1xYltOZf  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) 5qQ,Oh_V  
X9hg?xjcO  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 `dTeg|n  
T#tW v[zT/  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） F7(A:%Yj_  
[!!L^PZ  
　　[1] zds8u ? x  
$#G?3yeLAf  
　　两角和公式 7{i:v|/   
\^u|u1| 2  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB hBL+k <LZ  
B83"oF)  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  ze4%mQlb  
*""gwzIKO  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB c!|'zV3_k  
xl$'~F  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB \ m@uEmm  
E\S9KI$~W+  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) <I Bii"$8  
K*T p!QVN  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) e-dY#Ua%  
5h*[N:  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  u+r&gI#-s  
nmM'=G  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) zK(|}  
U 0xe 2  
倍角公式 Di uB[H  
I,`vo5  
　　Sin2A=2SinA•CosA ;N L s!&  
JW}Cl86+05  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 .5sjU?X@|  
/,HDq 7].  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） 1gG'Et'v^?  
do!B1jV /S  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） C.y}~px  
eEMMH\Qe6  
三倍角公式 /c>9>+x'W  
4;MCsY}@  
　　 Tl*8HYX  
iGvon6  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) d]0u#z+ks  
* oM eQ  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) a,z |K8 `u  
7I9A^.49K  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) ~K_$N)x  
NMX<~\oM~  
三倍角公式推导 az2y: Q@  
R=l`J>Z  
　　sin3a v ]e!h^G  
*FHtjG,q=  
　　=sin(2a+a) X6+W UNb  
QEr4VT6ZZ  
　　=sin2acosa+cos2asina PoVI bi]  
Rr\)+wc 8  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina `RJB=`8  
zX>x-7 ]  
　　=3sina-4sin³a y|^ NGn  
9p)%+X9^  
　　cos3a C'WZ7I 2_  
t <(AKp~l  
　　=cos(2a+a) )HM-`}!\  
=%HBEWN  
　　=cos2acosa-sin2asina y&d{# {heI  
X%X0 E%  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa (cd=jEy  
n[55"`G  
　　=4cos³a-3cosa 22I:"w*2  
)ayQ- y  
　　sin3a=3sina-4sin³a ,1h6bD=  
>dNaMU;  
　　=4sina(3/4-sin²a) 9D_$i.6G  
_ 5}*ECx  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] -8e G6'\|  
> jRBma|  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) YQm!zsv  
E,: G,8+:  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) #\^ /I-  
fn 4lz  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] RTCflW+T9  
QWe.,;Rd9H  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) qHHD8  
c;.iD[j$  
　　cos3a=4cos³a-3cosa XpU4Vqu  
(Xtu2z6  
　　=4cosa(cos²a-3/4) 5s6!M~A(  
,<~tR5X  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] WSYy^)g^(  
UmIw),=g  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) 9Z-!>{U+ ^  
AU*\a0Y.  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) OY x.kBje  
kswusq6  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} c(Iqjv&,C  
v9!,J~  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)  YUV  
NzK _G!  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] PQ3uj/ #  
 pZ\vQGv_  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] / z1tW  
{iiGCU  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) z4Deu:x^  
aAf,=2X%  
　　上述两式相比可得 vbc`k S  
PLw[  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) jtGLAL,  
5dSd#]Y/  
半角公式 !`0U te  
&2\*DH/hR:  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); F|DkcMlC  
5Z um(.  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. >3Y{+ W('  
XA[`k_G p  
和差化积 cR:\)]g=V  
/1{/Fau+  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] E#X)a/g  
?UKW?yEc  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] bc&ww9oc  
JN2 HF),S  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] k<ZXl%  
CQIj{s  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] `>e/ d  
;RcK~+F1J  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) `6uIw!  
w/6BtC[-  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ,z4>7csX  
Y}Eydt9  
积化和差 VTG$~@  
38L Vtzi  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] zWJ7Gu1l  
}z *;;"  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] dVr ]~7  
kJOx@}d  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] /j4ql%-_  
:bmK%m  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] eXy~h30qL  
) Y@ZO~*x"  
诱导公式 ?;9e<B {=  
,@)yDeZl  
　　sin(-α) = -sinα uA)~A&QT  
z37rp  
　　cos(-α) = cosα .S7L :an  
DA=EJU  
　　sin(π/2-α) = cosα 65l4;7D  
JptH sZ5f  
　　cos(π/2-α) = sinα #LJ6p[J]  
GhIeBxj=  
　　sin(π/2+α) = cosα vOc//,~  
{h<HY0M  
　　cos(π/2+α) = -sinα H3Vot03LBe  
q*"9LVOTP  
　　sin(π-α) = sinα %0jZ*!g,Lr  
2F\TC~X  
　　cos(π-α) = -cosα AuOP{(K:r@  
$] %a  
　　sin(π+α) = -sinα FKOC7|3$  
$3[@P@Ujw  
　　cos(π+α) = -cosα /)@sF<{b  
]ofy.  
　　tanA= sinA/cosA *d?&rJT~U  
:n0l\R+n  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα ,8%b  
="Qe  
　　tan（π/2－α）＝cotα yv<;  
-XL8R[  
　　tan（π－α）＝－tanα .W_CI>b"  
.~+M-g+  
　　tan（π＋α）＝tanα 4%4*M$*b0  
I7oAZ&$g  
万能公式 PX4%57f6  
$;YMT  
　　 TI,i >)O[  
RLIzkK  
其它公式 &o?"~r~  
49~*57?D  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 KnL3S~`  
D1_5(@+{  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 1dtH^Lma#.  
F*{TmIX?Je  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 ;9LFt"   
"WrezZa-  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 ,cr22BHC  
tE WSa{}'  
　　对于任意非直角三角形,总有 bAUK]zy  
t>(.a`W&  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 3;!?7+n  
$=_]hFur  
　　证: ]X1S1*3z1  
Yd"{~_x  
　　A+B=π-C W3.]4-JX  
C{XnFrpS  
　　tan(A+B)=tan(π-C) o[jS_M'  
*L?!k3\  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) _>6{8Ed  
 MC_1UGP  
　　整理可得 ?BBDpNd  
o}O;5gS[sx  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC x|(&t]-x.  
>k}c/bHsg  
　　得证 %b{c/<  
W}DvRq&^b#  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 B K}<7HJ  
CHv$d86\u  
其他非重点三角函数 = >e;s`[c  
-tlJHUD^{+  
　　csc(a) = 1/sin(a) `y(ko'tv  
=O.X_,U?  
　　sec(a) = 1/cos(a) JL0k.xKZ  
$W,rWy5sg  
　　 IEVI9F,gJ  
4` 1k 2A  
双曲函数 DB[KuLH`  
ID*3A>t=  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 SGV^,  
NU^gb|9  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 h]djXP Y  
dc@,.=?  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) ##9LpK;y  
*)#<qo  
　　公式一： E,dGuj".>  
G:yvG*qzR  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： O_G&ci/W  
2g,rY!l  
　　sin（2kπ＋α）= sinα U1 'SI>\  
Ht@^^$\_C  
　　cos（2kπ＋α）= cosα ]PSqc_  
][7dH.  
　　tan（kπ＋α）= tanα LubCbzzfN  
*_[/F[_  
　　cot（kπ＋α）= cotα G`[12e--  
kbpP UiT  
　　公式二： 8k=,r 2G  
#O`MA,[/  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： b][1Z 'i  
TB]ZK ,k-c  
　　sin（π＋α）= -sinα ^/`yt3J0=h  
pIv2L& 1  
　　cos（π＋α）= -cosα @Q{(2QQAi  
W.;_'@*  
　　tan（π＋α）= tanα 2v' 8<D  
_&QbRu>p&  
　　cot（π＋α）= cotα G~xj-[O1  
NOCE_]b  
　　公式三： NUv (5  
<*iO@p*@  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： Dgo:r>%sS  
X{$[X;?  
　　sin（-α）= -sinα hoO{q  
\_"ky`[ #V  
　　cos（-α）= cosα 1TmBdqo t  
/$h(+>9A$  
　　tan（-α）= -tanα 0 _w3jLq`  
Kb:n/KYx^K  
　　cot（-α）= -cotα H8|+{bf<f  
+3:_^G*D-  
　　公式四： 22sK#iT  
V2`0q> f  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： bT2Hg:)q  
7^P1Ca;JG  
　　sin（π-α）= sinα 0(Zb4Inb0  
?Ai+v9A\z  
　　cos（π-α）= -cosα G*G y F7P  
BLrrp@25y?  
　　tan（π-α）= -tanα {$I z~}  
XarsQ`  
　　cot（π-α）= -cotα "~i&<58  
)!N{;PQ<  
　　公式五： *VF3KEU  
>i("0(?  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： vFN(xnVbt  
,affKI  
　　sin（2π-α）= -sinα " n+!{[y  
# {>aT3\  
　　cos（2π-α）= cosα })Jp HL  
L<mF@D@N  
　　tan（2π-α）= -tanα X^YlPW;3  
12`? *D  
　　cot（2π-α）= -cotα %zA@o  
Doa Kbas  
　　公式六： 4)-GyK:EiS  
_ ^mr#Y0  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： `.rVht+  
*9g=2V(j%<  
　　sin（π/2+α）= cosα R.cQcf  
#q AUJ 8n  
　　cos（π/2+α）= -sinα d+DL-h]1UX  
o9u1.c3DE  
　　tan（π/2+α）= -cotα j+fJe@D  
QHqEu" &  
　　cot（π/2+α）= -tanα ,~r5,   
RKS]g(  
　　sin（π/2-α）= cosα b#! I  
<trB):o[Id  
　　cos（π/2-α）= sinα n<?iS7B14  
)i4zs?"L  
　　tan（π/2-α）= cotα fUwN:J  
?(X'z/1x&  
　　cot（π/2-α）= tanα $q.M/  
r2j{'+bQ  
　　sin（3π/2+α）= -cosα k9]_tl# -  
~0D.  
　　cos（3π/2+α）= sinα wx-\<C^S e  
`c0#]"yB  
　　tan（3π/2+α）= -cotα ;C":SNZo  
!["=O BM  
　　cot（3π/2+α）= -tanα &5AU^Afju  
|0b.)P` <  
　　sin（3π/2-α）= -cosα '(~ \3T  
}r CN>y  
　　cos（3π/2-α）= -sinα 3 zR9zq:6  
S(m Ef]  
　　tan（3π/2-α）= cotα c5>|aBh  
LVeY~1|$1  
　　cot（3π/2-α）= tanα %8A"JJ$JD  
nh6rD)VW  
　　(以上k∈Z) ii V8Hg`  
f;zy/<95  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 U\w!lA.3  
,&9mB#eIJ8  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = $1umF@NEY  
V}$>30 v!  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } A!}t|O;k  
L8&@u 3  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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